Длина средней линии треугольника. Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины 2-х его сторон. Соответственно, каждого у треугольника три средних линии. Зная качество средней линии, а также длины сторон треугольника и его углы, дозволено обнаружить длину средней линии.

Вам понадобится

Стороны треугольника, углы треугольника

Инструкция

1. Пускай в треугольнике ABC MN – средняя линия, соединяющая середины сторон AB (точка M) и AC (точка N).По свойству средняя линия треугольника, соединяющая середины 2-х сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. Значит, средняя линия MN будет параллельна стороне BC и равна BC/2.Следственно, для определения длины средней линии треугольника довольно знать длину стороны именно этой третьей стороны.

2. Пускай сейчас вестимы стороны, середины которых соединяет средняя линия MN, то есть AB и AC, а также угол BAC между ними. Потому что MN – средняя линия, то AM = AB/2, а AN = AC/2.Тогда по теореме косинусов объективно: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM*AN*cos(BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Отсель, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. Если знамениты стороны AB и AC, то среднюю линию MN дозволено обнаружить, зная угол ABC либо ACB. Пускай, скажем, знаменит угол ABC. Потому что по свойству средней линии MN параллельна BC, то углы ABC и AMN – соответствующие, и, следственно, ABC = AMN. Тогда по теореме косинусов: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Следственно, сторону MN дозволено обнаружить из квадратного уравнения (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.

Совет 2: Как обнаружить сторону квадратного треугольника

Квадратный треугольник больше верно именуется прямоугольным треугольником. Соотношения между сторонами и углами этой геометрической фигуры детально рассматриваются в математической дисциплине тригонометрии.

Вам понадобится

– лист бумаги;
– ручка;
– таблицы Брадиса;
– калькулятор.

Инструкция

1. Обнаружьте сторону прямоугольного треугольника с поддержкой теоремы Пифагора. Согласно этой теореме, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: с2 = a2+b2 , где с – гипотенуза треугольника , a и b – его катеты. Дабы применить это уравнение, надобно знать длину всяких 2-х сторон прямоугольного треугольника .

2. Если по условиям заданы размеры катетов, разыщите длину гипотенузы. Для этого с поддержкой калькулятора извлеките квадратный корень из суммы катетов, всякий из которых заранее возведите в квадрат.

3. Вычислите длину одного из катетов, если вестимы размеры гипотенузы и иного катета. При помощи калькулятора извлеките квадратный корень из разности гипотенузы в квадрате и вестимого катета, также возведенного в квадрат.

4. Если в задаче заданы гипотенуза и один из прилежащих к ней острых углов, используйте таблицы Брадиса. В них приведены значения тригонометрических функций для большого числа углов. Воспользуйтесь калькулятором с функциями синуса и косинуса, а также теоремами тригонометрии, которые описывают соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника .

5. Обнаружьте катеты при помощи основных тригонометрических функций: a = c*sin ?, b = c*cos ?, где а – катет, противолежащий к углу?, b – катет, прилежащий к углу?. Сходственным образом посчитайте размер сторон треугольника , если заданы гипотенуза и иной острый угол: b = c*sin ?, a = c*cos ?, где b – катет, противолежащий к углу?, а – катет, прилежащий к углу?.

6. В случае, когда вестим катет a и прилежащий к нему острый угол?, не забывайте, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов неизменно равна 90°: ? + ? = 90°. Разыщите значение угла, противолежащего к катету а: ? = 90° – ?. Либо воспользуйтесь тригонометрическими формулами приведения: sin ? = sin (90° – ?) = cos ?; tg ? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg ?.

7. Если вестим катет а и противолежащий к нему острый угол?, при помощи таблиц Брадиса, калькулятора и тригонометрических функций вычислите гипотенузу по формуле: c=a*sin ?, катет: b=a*tg ?.

Видео по теме

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

1 Дополнительное построение, ведущее к теореме о средней линии треугольника, трапеции и свойствам подобия треугольников.

И она равна половине гипотенузы .
Следствие 1.
Следствие 2.

2 Все прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом - подобны. Взгляд на тригонометрические функции.

3 Пример дополнительного построения - высота, опущенная на гипотенузу. Вывод теоремы Пифагора на основе подобия треугольников.

Отсюда видно, что

1 Все прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом - подобны. Взгляд на тригонометрические функции.

Треугольники со сторонами штрихованными и с не штрихованными подобны по равенству двух углов. Поэтому откуда

Это значит, что указанные отношения зависят лишь от острого угла прямоугольного треугольника и по сути определяют его. Это одно из оснований появления тригонометрических функций:

Часто запись тригонометрических функций угла в подобных прямоугольных треугольниках наглядней записи соотношений подобия!

2 Пример дополнительного построения - высота, опущенная на гипотенузу. Вывод теоремы Пифагора на основе подобия треугольников.

Опустим на гипотенузу AB высоту CH. Имеем три подобных треугольника ABC, AHC и CHB. Запишем выражения для тригонометрических функций:

Отсюда видно, что . Складывая, получаем теорему Пифагора, поскольку :

Другое доказательство теоремы Пифагора см.в комментарии к задаче 4.
3 Важный пример дополнительного построения – построение угла, равного одному из углов треугольника.

Проводим из вершины прямого угла отрезок прямой, составляющий с катетом CA угол, равный углу CAB заданного прямоугольного треугольника ABC. В результате получим равнобедренный треугольник ACM с углами при основании . Но другой треугольник, получающийся при таком построении, также будет равнобедренным, поскольку каждый его угол при основании равен (по свойству углов прямоугольного треугольника и по построению - из прямого угла «вычли» угол ). В силу того, что треугольники BMC и AMC равнобедренные с общей стороной MC имеем равенство MB=MA=MC, т.е. MC – медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника , и она равна половине гипотенузы .
Следствие 1. Середина гипотенузы является центром окружности, описанной вокруг этого треугольника, поскольку получилось, что середина гипотенузы равноудалена от вершин прямоугольного треугольника.
Следствие 2. Средняя линия прямоугольного треугольника, соединяющая середину гипотенузы и середину катета, параллельна противоположному катету и равна его половине.

Опустим в равнобедренных треугольниках BMC и AMC высоты MH и MG на основания. Поскольку в равнобедренном треугольнике, высота, опущенная на основание, является также и медианой (и биссектрисой), то MH и MG –линии прямоугольного треугольника, соединяющие середину гипотенузы с серединами катетов. По построению они оказываются параллельными противоположным катетам и равные их половинам, поскольку треугольники равны MHC и MGC равны (причем MHCG – прямоугольник). Этот результат является основанием для доказательства теоремы о средней линии произвольного треугольника и, далее, средней линии трапеции и свойства пропорциональности отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на двух пересекающих их прямых.

Задачи
Использование свойств подобия -1
Использование основных свойств - 2
Использование дополнительного построения 3-4

1 2 3 4

Высота, опущенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника равна корню квадратном из длин отрезков, на которые она делит гипотенузу.

Решение представляется очевидным, если знать вывод теоремы Пифагора из подобия треугольников:

$\mathrm{tg}\beta=\frac{h}{c_1}=\frac{c_2}{h}$,
откуда $h^2=c_1c_2$.

Найти геометрическое место точек (ГМТ) пересечения медиан всевозможных прямоугольных треугольников, гипотенуза АВ которых зафиксирована.

Точка пересечения медиан любого треугольника отсекает от медианы одну треть, считая от точки ее пересечения с соответствующей стороной. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы. Поэтому искомое ГМТ есть окружность радиуса, равной 1/6 от длины гипотенузы, с центром в середине этой (фиксированной) гипотенузы.

Как найти середину треугольника: задачка по геометрии. Основные элементарные задачи по Евклидовой геометрии пришли к нам из античности. В них заключается сама первичная сущность и необходимые базовые знания о восприятии человеком пространственных форм. Одной из таких задач является проблема нахождения середины треугольника. Сегодня эта задачка рассматривается как учебный прием развития интеллектуальных способностей школьников. В древнем же мире, знание того, как найти середину треугольника, применялось и на практике: в землеустройстве, при изготовлении разнообразных механизмов и т.д. В чем же состоит сущность этого геометрического ребуса?

Что такое медиана? Перед решением задачи необходимо ознакомиться с простейшей геометрической терминологией, касающейся треугольников. Прежде всего, у каждого треугольника есть три вершины, три стороны и три угла, от чего и происходит название данной геометрической фигуры. Важно знать, как называются линии, соединяющие вершины с противоположными сторонами: высота, биссектриса и медиана.

Высота − линия перпендикулярная стороне, противоположной вершине, из которой она проводится; биссектриса − делит угол пополам; медиана же делит противоположную исходящей вершине сторону пополам. Для решения этой задачи нужно знать, как найти координаты середины отрезка, ведь именно точка пересечения медиан треугольника и является его серединой.

Находим середины сторон треугольника. Нахождение середины отрезка тоже является классической геометрической задачей, для решения которой понадобится циркуль и линейка без делений. Ставим иглу циркуля в точку окончания отрезка и чертим полукруг, больший половины отрезка в середине последнего. Проделываем то же самое с другой стороны отрезка. Полученные полуокружности обязательно пересекутся в двух точках, ведь их радиусы больше половины исходного отрезка.

Соединяем две точки пересечения окружности прямой линией при помощи линейки. Эта линия пересекает исходный отрезок точно в его середине. Теперь, зная то, как найти середину отрезка, проделываем это с каждой стороной треугольника. После нахождения всех середин сторон треугольника всё готово для построения его собственной середины.

Строим середину треугольника. Соединив прямыми линиями вершины треугольника с серединами противоположных им сторон, получаем три медианы. Может кого-то это и удивит, но одним из законов гармонии этой геометрической фигуры является то, что все три медианы всегда пересекаются в одной точке. Именно эта точка и будет искомой серединой треугольника, которую не так трудно найти, если знать;как построить середину отрезка.

Интересно и то, что точка пересечения медиан представляет собой не только геометрическую, но и "физическую" середину треугольника. То есть, если, к примеру, вырезать треугольник из фанеры, найти его середину и поместить эту точку на кончик иглы, то в идеале такая фигура будет балансировать и не упадет. Элементарная геометрия несет в себе множество подобных захватывающих "тайн", знание которых помогает постигать гармонию окружающего мира и природу более сложных вещей.

Понятие средней линии треугольника

Введем понятие средней линии треугольника.

Определение 1

Это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (Рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия треугольника

Теорема о средней линии треугольника

Теорема 1

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине.

Доказательство.

Пусть нам дан треугольник $ABC$. $MN$ - средняя линия (как на рисунке 2).

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Так как $\frac{AM}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{1}{2}$, то треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по второму признаку подобия треугольников. Значит

Также, отсюда следует, что $\angle A=\angle BMN$, значит $MN||AC$.

Теорема доказана.

Следствия из теоремы о средней линии треугольника

Следствие 1: Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении $2:1$ начиная с вершины.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ его медианы. Так как медианы делят стороны пополам. Рассмотрим среднюю линию $A_1B_1$ (Рис. 3).

Рисунок 3. Иллюстрация следствия 1

По теореме 1, $AB||A_1B_1$ и $AB=2A_1B_1$, следовательно, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Значит треугольники $ABM$ и $A_1B_1M$ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда

Аналогично доказывается, что

Теорема доказана.

Следствие 2: Три средние линии треугольника делят его на 4 треугольника, подобных исходному треугольнику с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$ со средними линиями $A_1B_1,\ {\ A}_1C_1,\ B_1C_1$ (рис. 4)

Рисунок 4. Иллюстрация следствия 2

Рассмотрим треугольник $A_1B_1C$. Так как $A_1B_1$ - средняя линия, то

Угол $C$ - общий угол этих треугольников. Следовательно, треугольники $A_1B_1C$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия треугольников с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

Аналогично доказывается, что треугольники $A_1C_1B$ и $ABC$, и треугольники $C_1B_1A$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

Рассмотрим треугольник $A_1B_1C_1$. Так как $A_1B_1,\ {\ A}_1C_1,\ B_1C_1$ -- средние линии треугольника, то

Следовательно, по третьему признаку подобия треугольников, треугольники $A_1B_1C_1$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

Теорема доказана.

Примеры задачи на понятие средней линии треугольника

Пример 1

Дан треугольник со сторонами $16$ см, $10$ см и $14$ см. Найти периметр треугольника , вершины которого лежат в серединах сторон данного треугольника.

Решение.

Так как вершины искомого треугольника лежат в серединах сторон данного треугольника, то его стороны -- средние линии исходного треугольника. По следствию 2, получим, что стороны искомого треугольника равны $8$ см, $5$ см и $7$ см.

Ответ: $20$ см.

Пример 2

Дан треугольник $ABC$. Точки $N\ и\ M$ -- середины сторон $BC$ и $AB$ соответственно (Рис. 5).

Рисунок 5.

Периметр треугольника $BMN=14$ см. Найти периметр треугольника $ABC$.

Решение.

Так как $N\ и\ M$ -- середины сторон $BC$ и $AB$, то $MN$ -- средняя линия. Значит

По теореме 1, $AC=2MN$. Получаем: